Question

3．求和：-$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$．

Answer 1

分析 通过记S_n=-$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，从而$\frac{1}{2}$S_n=-$\frac{1}{4}$+1×$\frac{1}{8}$+3×$\frac{1}{16}$+…+（2n-3）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+2}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：记S_n=-$\frac{1}{2}$+1×$\frac{1}{4}$+3×$\frac{1}{8}$+…+（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
则$\frac{1}{2}$S_n=-$\frac{1}{4}$+1×$\frac{1}{8}$+3×$\frac{1}{16}$+…+（2n-3）×$\frac{1}{{2}^{n+1}}$+（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+2}}$，
两式相减得：$\frac{1}{2}$S_n=-$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+…+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）-（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+2}}$
=$-\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+2}}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（2n-1）×$\frac{1}{{2}^{n+2}}$，
∴S_n=1-$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{2n+3}{{2}^{n+1}}$．

点评 本题考查数列的求和，考查运算错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．