Question

12．已知数列{a_n}满足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}（0≤{a}_{n}＜\frac{1}{2}）}\\{2{a}_{n}+1（{a}_{n}≥\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$若a₁=$\frac{6}{7}$，则a₂₀₁₅的值为-1+$\frac{13}{7}$•2²⁰¹⁴．

Answer 1

分析 通过题意易知a_n＞$\frac{1}{2}$，从而有a_n+1=2a_n+1，变形可知a_n+1+1=2（a_n+1），进而可知数列{a_n+1}是以$\frac{13}{7}$为首项、2为公比的等比数列，计算即得结论．

解答 解：依题意易知a_n＞$\frac{1}{2}$，
∴a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
又∵a₁+1=$\frac{6}{7}$+1=$\frac{13}{7}$，
∴数列{a_n+1}是以$\frac{13}{7}$为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+1=$\frac{13}{7}$•2^n-1，
∴a_n=-1+$\frac{13}{7}$•2^n-1，
∴a₂₀₁₅=-1+$\frac{13}{7}$•2²⁰¹⁴，
故答案为：-1+$\frac{13}{7}$•2²⁰¹⁴．

点评 本题考查数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．