题目内容
16.设函数f(x)=$\frac{{a}^{2x}+{a}^{-2x}-1}{{a}^{x}+{a}^{-x}}$(a>1).(1)设t=ax+a-x,将f(x)用t表示为g(t);
(2)判断y=f(x)在(-∞,0]与[0,+∞)上的单调性;
(3)当x∈[-1,1]时,f(x)∈[$\frac{1}{2}$,2],求实数a的值.
分析 (1)可知t=ax+a-x≥2,从而可得a2x+a-2x=t2-2,从而解得;
(2)由复合函数的单调性可判断函数的单调性;
(3)由(2)知,y=f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数;从而可得$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-1}{a+{a}^{-1}}$=2,从而解得.
解答 解:(1)∵t=ax+a-x≥2,
∴a2x+a-2x=(ax+a-x)2-2=t2-2,
故g(t)=$\frac{{t}^{2}-2-1}{t}$=$\frac{{t}^{2}-3}{t}$;
(2)t=ax+a-x在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数;
g(t)=$\frac{{t}^{2}-3}{t}$在[2,+∞)上是增函数;
故y=f(x)在(-∞,0]上是减函数,在[0,+∞)上是增函数;
(3)由(2)知,y=f(x)在[-1,0]上是减函数,在[0,1]上是增函数;
f(0)=$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$,
f(-1)=$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-1}{a+{a}^{-1}}$,f(1)=$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-1}{a+{a}^{-1}}$,
故$\frac{{a}^{2}+{a}^{-2}-1}{a+{a}^{-1}}$=2,
故a+a-1=3,
解得,a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或a=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$(舍去);
故a=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
点评 本题考查了函数的单调性的判断与复合函数的应用.
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A. | $\frac{9}{2}$ | B. | 4 | C. | 5 | D. | 9 |