Question

7．已知函数f（x）=lnx+a（x-1）²，其中a∈R．
（1）若f（x）在x=e处的切线斜率为1，求a；
（2）若a＞0，g（x）=f（x）-x+1，求g（x）在区间[1，2]的最小值；
（3）令h（x）=f（x）-ax²，对y=h（x）上任意不同的两点，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）直线AB的斜率为k，若x₁+x₂+k＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得导数，求出切线的斜率，解方程可得a：
（2）化简g（x），求得导数，讨论当a≥$\frac{1}{2}$时，当0＜a≤$\frac{1}{4}$时，当$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，由单调区间，即可得到最小值；
（3）运用斜率公式，化简整理，即有m（x）=lnx+x²-a（2x-1）在（0，+∞）上递增，运用导数判断单调性，结合恒成立思想，计算即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）=lnx+a（x-1）²的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+2a（x-1），
f（x）在x=e处的切线斜率为1，即有$\frac{1}{e}$+2a（e-1）=1，
解得a=$\frac{1}{2e}$；
（2）g（x）=f（x）-x+1=lnx+a（x-1）²-x+1，
g′（x）=$\frac{1}{x}$+2a（x-1）-1=$\frac{（x-1）（2ax-1）}{x}$，
当a≥$\frac{1}{2}$时，在[1，2]上g′（x）＞0，g（x）递增，
即有x=1处取得最小值，且为0；
当0＜a≤$\frac{1}{4}$时，在[1，2]上g′（x）＜0，g（x）递减，
即有x=2处取得最小值，且为ln2+a-1；
当$\frac{1}{4}$＜a＜$\frac{1}{2}$时，g（x）在[1，$\frac{1}{2a}$）递减，在（$\frac{1}{2a}$，2）递增，
即有x=$\frac{1}{2a}$处取得最小值，且为-ln（2a）+a（$\frac{1}{2a}$-1）²-$\frac{1}{2a}$+1；
（3）h（x）=f（x）-ax²=lnx-a（2x-1），
x₁+x₂+k＞0恒成立，
即为x₁+x₂+$\frac{ln{x}_{1}-a（2{x}_{1}-1）-ln{x}_{2}+a（2{x}_{2}-1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，
即有$\frac{ln{x}_{1}+{{x}_{1}}^{2}-a（2{x}_{1}-1）-ln{x}_{2}-{{x}_{2}}^{2}+a（2{x}_{2}-1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即为m（x）=lnx+x²-a（2x-1）在（0，+∞）上递增，
即有m′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a≥0恒成立，
即为2a≤2x+$\frac{1}{x}$的最小值，
由2x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{2x•\frac{1}{x}}$=2$\sqrt{2}$（当且仅当x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，等号成立），
则2a≤2$\sqrt{2}$，
解得a≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性的定义和构造函数的方法，属于中档题．