Question

6．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数，偶函数，且 f（x）+g（x）=e^x，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 由已知中函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）+g（x）=e^x①，结合函数奇偶性的性质，可得-f（x）+g（x）=e^-x②，由①②联立方程组可求出f（x），g（x）的解析式．

解答 解：∵函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，
则f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
又∵f（x）+g（x）=e^x，…①
∴f（-x）+g（-x）=e^-x，
∴-f（x）+g（x）=e^-x，…②
由①②得f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$．

点评 本题考查的知识点函数奇偶性的性质，其中根据已知条件构造出第二个方程-f（x）+g（x）=e^-x，是解答本题的关键．