Question

18．已知一个三棱锥的俯视图与侧（左）视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的表面积为$\sqrt{19}+\sqrt{3}+2$．

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，求出其各个面的面积，相加可得答案．

解答 解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其直观图如下所示：

其中AE=BC=CD=BD=2，
则DE=$\sqrt{3}$，AB=AC=$\sqrt{5}$，AD=$\sqrt{7}$，
△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×2×2=2，
△BCD的面积为：$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$=$\sqrt{3}$，
△ABD和△ACD的三边长分别为2，$\sqrt{5}$，$\sqrt{7}$，
则由海伦公式可得△ABD和△ACD的面积为：$\sqrt{\frac{2+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2}•\frac{-2+\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2}•\frac{2-\sqrt{5}+\sqrt{7}}{2}\frac{2+\sqrt{5}-\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$
故该三棱锥的表面积为：$\sqrt{19}$+$\sqrt{3}$+2，
故答案为：$\sqrt{19}$+$\sqrt{3}$+2

点评 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．