Question

15．已知（2x-1）²⁰=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₂₀（x+1）²⁰（x∈R），则$\sum_{i=1}^{20}$i²a_i=1480．

Answer 1

分析 先换元，两边求导，20（2t-3）¹⁹=a₁+2a₂t+…+20a₂₀t¹⁹，再两边同时乘以t，40t（2t-3）¹⁹=a₁t+2a₂t²+…+20a₂₀t²⁰，两边再求导，令t=1，可得$\sum_{i=1}^{20}$i²a_i．

解答 解：令x+1=t，则x=t-1，
则（2t-3）²⁰=a₀+a₁t+a₂t²+…+a₂₀t²⁰（x∈R），
两边求导，40（2t-3）¹⁹=a₁+2a₂t+…+20a₂₀t¹⁹，
两边同时乘以t，40t（2t-3）¹⁹=a₁t+2a₂t²+…+20a₂₀t²⁰，
两边再求导，40×（40t-3）（2t-3）¹⁸=a₁+2²a₂t+…+20²a₂₀t¹⁹，
令t=1，可得$\sum_{i=1}^{20}$i²a_i=40×37×（-1）¹⁸=1480，
故答案为：1480．

点评 本题考查二项式的系数和问题，考查导数知识的运用，正确转化是关键．