题目内容
8．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴为正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离；
（2）椭圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosθ}\\{y=bsinθ}\end{array}\right.$（φ为参数，a＞b＞0），直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m为非零常数）与ρ=b，若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，求椭圆C的离心率．
分析 （1）联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案；
（2）先根据极坐标与直角坐标的转换关系将直线l的极坐标方程分别为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m为非零常数）化成直角坐标方程，再利用直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，从而得到c=$\sqrt{2}$b，又b2=a2-c2，消去b后得到关于a，c的等式，即可求出椭圆C的离心率．
解答 解：（1）由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ-1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ-1）=1，
解得ρ=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$或ρ=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍），
∴曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$；
（2）直线l的极坐标方程分别为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$m（m为非零常数）化成直角坐标方程为x+y-m=0，
它与x轴的交点坐标为（m，0），由题意知，（m，0）为椭圆的焦点，故|m|=c，
又直线l与圆O：ρ=b相切，∴$\frac{|-m|}{\sqrt{2}}$=b，
从而c=$\sqrt{2}$b，又b2=a2-c2，
∴c2=2（a2-c2），
∴3c2=2a2，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
则椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
点评 本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，考查了椭圆的离心率，考查了参数方程化成普通方程，点的极坐标和直角坐标的互化，考查学生分析问题的能力，属基础题．
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