Question

20．已知函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）的部分图象如图所示．
（1）求出函数f（x）的单调递减区间及图中点A的横坐标a的值；
（2）若函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，并关于直线x=$\frac{π}{4}$对称后，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间；令f（x）=1，结合f（x）的图象，求得x的值，可得图中点A的横坐标a的值．
（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．

解答 解：（1）对于函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
求得kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，可得函数f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．
令f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$）=1，求得 sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$，结合图形可得2x+$\frac{π}{4}$=2π+$\frac{π}{6}$，求得x=$\frac{25π}{24}$，
即a=$\frac{25π}{24}$．
（2）把函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，可得函数y=2sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=2sin（2x-$\frac{π}{4}$）的图象，
并关于直线x=$\frac{π}{4}$对称后，得到函数g（x）=2sin[2（$\frac{π}{2}$-x）-$\frac{π}{4}$]=2sin（$\frac{3π}{4}$-2x）=-2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的图象．
在区间[-$\frac{π}{8}$，$\frac{π}{2}$]上，2x-$\frac{3π}{4}$∈[-π，$\frac{π}{4}$]，∴sin（2x-$\frac{3π}{4}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，-2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，2]，
即g（x）的值域为[-$\sqrt{2}$，2]．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．