Question

17．已知二次函数h（x）=ax²+bx+2，其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间$（{1，m+\frac{1}{2}}）$上是单调函数，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出f（x）的导数，通过待定系数法求出a，b的值，从而求出f（x）的解析式；
（2）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，集合函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）由已知，h′（x）=2ax+b，
其图象为直线，且过（0，-8），（4，0）两点，
把两点坐标代入h′（x）=2ax+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{b=-8}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴h（x）=x²-8x+2，h′（x）=2x-8，
∴f（x）=6lnx+x²-8x+2，
（2）f′（x）=$\frac{6}{x}$+2x-8$\frac{2（x-1）（x-3）}{x}$，
∵x＞0，∴x，f′（x），f（x）的变化如下：

x	（0，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增		递减		递增

∴f（x）的单调递增区间为（0，1）和（3，+∞）∴f（x）的单调递减区间为（1，3）
要使函数f（x）在区间（1，m+$\frac{1}{2}$）上是单调函数，
则 $\left\{\begin{array}{l}{1＜m+\frac{1}{2}}\\{m+\frac{1}{2}≤3}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{2}$＜m≤$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查导数的应用，考查函数的单调性问题，是一道中档题．