Question

【题目】设函数f（x）=x2+ax+b，a，b∈R．
（1）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（2）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵2a+b=4，

∴f（x）=x2+ax+b=x2+ax+4﹣2a= ，

当 ，即a≥0时，f（x）在[0，4]上为增函数，f（x）∈[﹣2a+4，2a+20]，

|f（x）|的最大值为M（a）=2a+20；

当 ，即a≤﹣8时，f（x）在[0，4]上为减函数，f（x）∈[2a+20，﹣2a+4]，

此时﹣2a+4＞|2a+20|，|f（x）|的最大值为M（a）=﹣2a+4；

当0 ，即﹣4≤a＜0时，f（x）在[0，4]上的最小值为 ，

f（x）在[0，4]上的最大值为f（4）=2a+20，

∵2a+20≥12，4＜ ，

∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=2a+20；

当 ，即﹣8＜a＜﹣4时，f（x）在[0，4]上的最小值为 ，

f（x）在[0，4]上的最大值为f（0）=﹣2a+4，

∵﹣2a+4＞12，4＜ ，

∴|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）=﹣2a+4．

∴M（a）= ，则M（a）≥12；

（2）解：f（x）=x2+ax+b的对称轴为x= ．

①若a≥0，则 ≤0，∴f（x）在[0，b）上单调递增，

∴ ．

由b2+ab+b≤10，得 ≥a≥0，

解不等式组 ，得1 ．

②若0＜ ＜ ，即﹣b＜a＜0时，f（x）在[0， ]上单调递减，在（﹣ ，b]单调递增，

∴ ．

∴ ，即 ，得1＜b＜10．

③若0＜ ＜b，即﹣2b＜a＜﹣b＜0时，f（x）在[0， ]单调递减，在（ ，b]单调递增，

∴ ，即 ，则1＜b≤10．

④若 ≥b，即a≤﹣2b时，f（x）在[0，b）上单调递减，

∴ ，

∴ ，即 ，则b∈．

综上，b的取值范围是[1，10]，b的最大值为10．

【解析】（1）把2a+b=4代入函数解析式，利用f（x）的对称轴为进行分类，求出f（x）在[0，4]上的最值，进一步求得|f（x）|在区间[0，4]上的最大值．由最大值的最小值为12证得答案；（2）f（x）的对称轴为x=﹣ ，根据对称轴与区间[0，b]的关系分情况讨论f（x）的单调性，求出最值，根据1≤f（x）≤10列出不等式组，化简得出b的取值范围，从而得到实数b的最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．