题目内容
【题目】如图,已知圆的方程为
,过点
的直线
与圆
交于点
,与
轴交于点
,设
,求证:
为定值.
【答案】见解析.
【解析】
先讨论当AB与x轴垂直时,此时点Q与点O重合,从而λ=2,μ=,λ+μ=
;在讨论AB存在斜率时,:
=
.
证明:当AB与x轴垂直时,此时点Q与点O重合,
从而λ=2,μ=,λ+μ=
;
当点Q与点O不重合时,直线AB的斜率存在;
设直线AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2),
则Q(﹣,0);
由题设,得x1+=λx1,x2+
=μx2,
即λ=1+,μ=1+
;
所以λ+μ=(1+)+(1+
)=2+
;
将y=kx+1代入x2+y2=4,得(1+k2)x2+2kx﹣3=0,
则△>0,x1+x2=﹣,x1x2=﹣
,
所以λ+μ=2+;
综上,λ+μ为定值.
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