题目内容
【题目】已知关于不等式
.
(1)若该不等式的解集为空集,求函数的最大值;
(2)若,该不等式能成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由关于不等式
的解集为空集,可得
,然后求
的最大值即可;
(2)当,该不等式能成立等价于
在
有解,再结合二次函数的对称轴讨论即可得解.
解:(1)由关于不等式
的解集为空集,
则,解得
,
则,
设
则,
则,当且仅当
,即
,即
时取等号,
即函数的最大值为
,
故函数的最大值为
;
(2)当,该不等式能成立,即
在
有解,
设,二次函数
的图象开口向上,对称轴为直线
.
①当时,则有
,即
,
解得或
,不合乎题意;
②当时,二次函数
在区间
上单调递增,则
,解得
,此时,
;
③当时,二次函数
在区间
上单调递减,由于
,
此时,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围为
.
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