Question

4．为了考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校的高中生中随机地抽取了300名学生进行调查，得到如下列联表：

	喜欢数学	不喜欢数学	总计
男	37	85	122
女	35	143	178
总计	72	228	300

由表中数据计算K²≈4.513，判断高中生的性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系，并说明理由．

Answer 1

分析 利用2×2联列表，分析性别与是否喜欢数学课程之间是否有关系，通过计算K²判断有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”．

解答 解：可以有95%的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系”，作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程为：

	喜欢数学	不喜欢数学	总计
男	a	b	a+b
女	c	d	c+d
总计	a+c	b+d	a+b+c+d

分别用a，b，c，d表示喜欢数学的男生数、不喜欢数学的男生数、喜欢数学的女生数、不喜欢数学的女生数．如果性别与是否喜欢数学有关系，则男生中喜欢数学的比例$\frac{a}{a+b}$与女生中喜欢数学的比例$\frac{c}{c+d}$应该相差很多，即|$\frac{a}{a+b}-\frac{c}{c+d}|=|\frac{ad-bc}{（a+b）（c+d）}$|应很大，将上式等号右边的式子乘以常数因子$\frac{{\sqrt{（a+b+c+d）（a+b）（c+d）}}}{{\sqrt{（a+c）（b+d）}}}$，然后平方计算得：K²=$\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．因此，K²越大，“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大．
另一方面，假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”，由于事件A=“K²＞3.841”的概率为P（A）≈0.05．因此事件A是一个小概率事件．而由样本计算得K²≈4.513，这表明小概率事件A发生了，由此我们可以断定“性别与是否喜欢数学之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性为5%，约有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程之间有关系”．

点评 本题考查对立检验思想的应用，考查计算能力以及分析判断能力．