题目内容
【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为 ,左焦点为F(﹣1,0),过点D(0,2)且斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求k的取值范围;
(3)在y轴上,是否存在定点E,使 恒为定值?若存在,求出E点的坐标和这个定值;若不存在,说明理由.
【答案】
(1)解:
(2)解:
所以k的取值范围是:
(3)解:设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=﹣
又y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4
=﹣ ,
y1+y2=(kx1+2)+(kx2+2)
=k(x1+x2)+4
=
设存在点E(0,m),则 ,
所以
=
=
要使得 =t(t为常数),
只要 =t,
从而(2m2﹣2﹣2t)k2+m2﹣4m+10﹣t=0
即
由(1)得 t=m2﹣1,
代入(2)解得m= ,从而t= ,
故存在定点 ,使 恒为定值
【解析】(1)直接求出a,b;(2)利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件;(3)利用设而不求的方法,设出要求的常数,并利用多项式的恒等条件(相同次项的系数相等)
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