题目内容
【题目】已知椭圆C： 
（a＞b＞0）的离心率为 
，短轴长为 
，过右焦点F的直线l与C相交于A，B两点．O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P在椭圆C上，且 
= 
+ 
，求直线l的方程．
【答案】
（1）解：由2b=2 
．得b= ，
即有 
= 
，a2﹣c2=2，
所以 
，
则椭圆方程为 
（2）解：椭圆C的方程为2x2+3y2=6．设A（x1，y1），B（x2，y2）．
（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1）．
C上的点P使 
= 
+ 
成立的充要条件是P点坐标为（x1+x2，y1+y2），
且2（x1+x2）2+3（y1+y2）2=6，
整理得2x12+3y12+2x22+3y22+4x1x2+6y1y2=6，
又A、B在椭圆C上，即2x12+3y12=6，2x22+3y22=6，
故2x1x2+3y1y2+3=0．①
将y=k（x﹣1）代入2x2+3y2=6，并化简得
（2+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣6=0，
于是x1+x2= 
，x1x2= 
，
y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）= 
．
代入①解得k2=2，
因此，当k=﹣ 时，l的方程为 x+y﹣ =0；
当k= 时，l的方程为 x﹣y﹣ =0．
（ⅱ）当l垂直于x轴时，由 + =（2，0）知，
C上不存在点P使 = + 成立．
综上，l的方程为 x±y﹣ =0
【解析】（1）由题意可得b= ，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量的坐标表示，解方程可得k；（ⅱ）当l垂直于x轴时，由向量的加法运算，即可判断．
