题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,讨论
的单调性;
(2)当时,若方程
有两个相异实根
,且
,证明:
.
【答案】(1) 在
上单调递减,
上单调递增.(2)见解析.
【解析】试题分析:
(1)由题令,解得
(舍去),
,结合图象可得
的符号,进而得到函数的单调性;(2)将证明
的问题转化为比较两个函数值大小的问题,然后利用单调性求解。设
,可得
,再通过构造函数的方法可证得
,即
,最后再利用
在
上单调递增,可得
.
试题解析:
(1)因为
所以,
因为,所以
,
由得
(舍去),
,
所以当时,
单调递减,
当时,
单调递增,
故在
上单调递减,在
上单调递增.
(2)当时,
,
设的两个相异实根分别为
,
则满足
,且
,
令,
则,所以
在
上递减
由题意可知,故
,
所以,
令,
则
令,
则,
当时,
,
所以是减函数,
所以,
所以当时,
,
所以,
因为,
在
上单调递增,
所以.
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