题目内容

7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于M，N两点，且MF2=F1F2，MF1=4，NF1=3，则椭圆的离心率为$\frac{5}{7}$．

分析 设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），运用椭圆的定义，可得|NF2|=2a-|NF1|=2a-3，|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，由勾股定理可得a+c=12，解得a，c，运用离心率公式计算即可得到．

解答 解：设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
F1（-c，0），F2（c，0），
|MF2|=|F1F2|=2c，
由椭圆的定义可得|NF2|=2a-|NF1|=2a-3，
|MF2|+|MF1|=2a，即有2c+4=2a，
即a-c=2，①
取MF1的中点K，连接KF2，则KF2⊥MN，
由勾股定理可得|MF2|2-|MK|2=|NF2|2-|NK|2，
即为4c2-4=（2a-3）2-25，化简即为a+c=12，②
由①②解得a=7，c=5，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{7}$．
故答案为：$\frac{5}{7}$．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义的运用和离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．

练习册系列答案
相关题目
19．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为y2=16x．
18．已知双曲线和离心率为sin$\frac{π}{4}$的椭圆有相同的焦点F1，F2，若cos∠F1PF2=$\frac{1}{2}$，则双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
15．在复平面内，复数z=$\frac{3+2i}{{i}^{2015}}$（i为虚数单位）的 共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知命题ρ：将函数y=sin2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位后，对应函数的解析式为y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）；命题q：正切函数y=tanx在定义域内为增函数，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．（￢ρ）∧（￢q）B．（￢ρ）∧qC．ρ∧（￢q）D．ρ∧q
12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k2的值．
19．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx-cos2x，x∈R．求：
（Ⅰ） 函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函数f（x）的值域．
16．已知区域T$\left\{{\left.{（x，y）}\right|\left\{\begin{array}{l}x+y≤6\\ 0≤x≤\sqrt{y}\end{array}\right.}\right\}$的面积为t，当x，y∈T时，z=tx-$\frac{11}{3}$y的最大值是（　　）
A．-22B．$\frac{11}{3}$C．0D．$\frac{11}{3}$
17．已知定义域在R上的奇函数f（x）当x＞0时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-1，x∈[0，1]}\\{（x-2）^{2}，x∈（1，+∞）}\end{array}\right.$，则f[f（-3）]=（　　）
A．1B．-1C．7D．-7

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网