Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦距为2$\sqrt{3}$，且过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过椭圆顶点B（0，b），斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，求k²的值．

Answer 1

分析 （1）由已知2c=2$\sqrt{3}$，代入点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），结合b²=a²-c²即可求a，b，进而可求椭圆方程；
（2）由（1）得过B点的直线为y=kx+1，联立直线y=kx+1与椭圆方程可求D的坐标，及k的取值范围，由|BD|，|BE|，|DE|成等比，可得|BE|²=|BD||DE|，即（1-y_D）|y_D|=1，解方程即可得到．

解答 解：（1）由已知2c=2$\sqrt{3}$，即有c=$\sqrt{3}$，
 代入点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），可得
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，又a²-b²=3，
解得a=2，b=1，
则有椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）由（1）得过B点的直线为y=kx+1，
由代入椭圆方程，得（4k²+1）x²+8kx=0，
则x_D=-$\frac{8k}{1+4{k}^{2}}$，y_D=$\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，
依题意k≠0，k≠±$\frac{1}{2}$．
因为|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，所以|BE|²=|BD||DE|，
所以b²=（1-y_D）|y_D|，即（1-y_D）|y_D|=1，
当y_D＞0时，y_D²-y_D+1=0，无解，
当y_D＜0时，y_D²-y_D-1=0，解得y_D=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
所以$\frac{1-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，解得k²=$\frac{2+\sqrt{5}}{4}$，
所以，当|BD|，|BE|，|DE|成等比数列时，k²=$\frac{2+\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，及等比数列的应用，属于综合试题．