Question

19．已知函数f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x，x∈R．求：
（Ⅰ） 函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先通过三角函数的关系式的恒等变换，把函数的关系式变性成正弦型函数，进一步利用整体思想求出函数的单调递增区间．
（Ⅱ）进一步利用三角函数的定义域求出正弦型函数的值域．

解答 解：（ I）函数f（x）=sin²x+2sinxcosx-cos²x
=$sin2x-cos2x=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，x∈R
令$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ，（k∈Z）$
解得：$-\frac{π}{8}+kπ≤x≤\frac{3π}{8}+kπ$，
所以：f（x）的单调增区间为：$[-\frac{π}{8}+kπ，\frac{3π}{8}+kπ]$（k∈Z）
（ II）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
所以：$\frac{π}{4}≤2x+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$
从而有：$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤1$，
故：$-1≤\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$
因此：函数f（x）的值域：$[-1，\sqrt{2}]$

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，利用整体思想求正弦型函数的单调递增区间，利用三角函数的定义域求正弦型函数的值域．主要考查学生的应用能力．