Question

3．（如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=$\frac{1}{2}$⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer 1

分析 （1）要证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；
（Ⅱ）先由三角形相似的判定定理可知△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，再由切割线定理列出方程求出OA的长．

解答 （Ⅰ）证明：如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）解：∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，
∴BC²=BD•BE，
∵tan∠CED=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$．
∵△BCD∽△BEC，∴$\frac{BD}{BC}$=$\frac{CD}{EC}$=$\frac{1}{2}$，
设BD=x，BC=2x．又BC²=BD•BE，∴（2x）²=x•（x+6），
解得x₁=0，x₂=2，
∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

点评 本题考查切线的判定、相似三角形的判定和性质，以及切割线定理的综合运用，考查学生的计算能力，属于中档题．