Question

12．如图，在边长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、M分别是棱AB、BC、DD₁的中点，
（1）求证：BM⊥平面B₁EF；
（2）（理科） 求二面角M-B₁E-F的余弦值．
（文科） 求直线ME与平面B₁EF所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）过M作GM∥AD交AA₁于G，连BM，根据直线与平面垂直的判定定理、定义，分别证明EF⊥BM，BM⊥B₁E，且EF∩B₁E=E，满足定理可证明结论；
（2）（理科）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）求出平面B₁EF的法向量，由向量垂直的条件求出平面MEB₁的法向量，利用向量的数量积运算和向量夹角公式，即可求出二面角M-EB₁-F的余弦值；
（文科）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）求出平面B₁EF的法向量，以及$\overrightarrow{ME}$的坐标，利用向量夹角公式和向量的数量积运算求解；

解答 证明：（1）过M作GM∥AD交AA₁于G，
正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F为AB和BC的中点，
∴BD⊥AC，且DD₁⊥面ABCD，
∴AC⊥面BDM，而EF∥AC，
∴EF⊥面BDM，则EF⊥BM，
又∵GM∥AD，∴GM⊥面ABB₁A₁，则BG⊥B₁E，
∵GM⊥B₁E，∴B₁E⊥平面BGM，
∴BM⊥B₁E，
又EF∩B₁E=E，∴BM⊥平面B₁EF；
解：（2）（理科）建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（2，1，0），
F（1，2，0），M（0，0，1），B₁（2，2，2），
由（1）可得，平面B₁EF的法向量是$\overrightarrow{MB}$=（2，2，-1），
设平面B₁EM的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{ME}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{M{B}_{1}}$=（2，2，1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-z=0}\\{2x+2y+z=0}\end{array}\right.$，化简可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-2z}\\{x=\frac{3}{2}z}\end{array}\right.$，
取z=2，则x=3，y=-2，则$\overrightarrow{n}$=（3，-2，2），
∴cos＜$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{MB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6-4+2}{3•\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{51}$；
（文科）建立如上图所示的空间直角坐标系D-xyz，
由（1）可得，平面B₁EF的法向量是$\overrightarrow{MB}$=（2，2，-1），
且$\overrightarrow{ME}$=（2，1，-1），
设直线ME与平面B₁EF所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{ME}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{ME}}{|\overrightarrow{MB}||\overrightarrow{ME}|}$|=|$\frac{4+2+1}{3×\sqrt{6}}$|=$\frac{7\sqrt{6}}{18}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的定义、判定定理，利用空间向量求二面角的余弦值、线面角等，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．