Question

2．已知点F（$\sqrt{3}$，0），圆E：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）若直线l与圆O：x²+y²=1相切，并与（1）中轨迹交于不同的两点A、B．当$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=λ，且满足$\frac{1}{2}$≤λ≤$\frac{2}{3}$时，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

分析 （1）连接QF，结合圆的定义和垂直平分线的性质，以及椭圆的定义，可得Q的轨迹方程；
（2）设直线l的方程为x=my+n（m∈R），由直线和圆相切的条件：d=r，可得m，n的关系，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得△AOB的面积，结合向量的数量积的坐标表示和基本不等式，即可得到所求范围．

解答 解：（1）连接QF，∵|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=|PE|=4＞|EF|=2$\sqrt{3}$，
∴动点Q的轨迹是以E（-$\sqrt{3}$，0）、F（$\sqrt{3}$，0）为焦点，长轴长2a=4的椭圆，
即动点Q的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）依题结合图形知直线l的斜率不为零，
所以设直线l的方程为x=my+n（m∈R）．
∵直线L即x-my-n=0与圆O：x²+y²=1相切，
∴$\frac{|n|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=1得n²=m²+1．
又∵点A，B的坐标满足：$\left\{\begin{array}{l}{x=my+n}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}-4=0}\end{array}\right.$，
消去x整理得（m²+4）y²+2mny+n²-4=0，
由韦达定理得y₁+y₂=-$\frac{2mn}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{n}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$，
又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|，点O到直线l的距离d=$\frac{|n|}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$=1，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}$|n|•|y₁-y₂|
=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{{n}^{2}}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$，
∵λ=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（my₁+n）（my₂+n）+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂+mn（y₁+y₂）+n²=$\frac{5{n}^{2}-4{m}^{2}-4}{4+{m}^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+1}{4+{m}^{2}}$
∵$\frac{1}{2}≤λ≤\frac{2}{3}$，令t=1+m²，则λ=$\frac{t}{3+t}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]，即有t∈[3，6]
∴S_△AOB=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{1+{m}^{2}}{（{m}^{2}+4）^{2}}}$=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{t}{（t+3）^{2}}}$=2$\sqrt{3}$•$\sqrt{\frac{t}{{t}^{2}+6t+9}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{t+\frac{9}{t}+6}}$
∵t+$\frac{9}{t}$∈[6，$\frac{15}{2}$]，t+$\frac{9}{t}$+6∈[12，$\frac{27}{2}$]，$\sqrt{t+\frac{9}{t}+6}$∈[$\sqrt{12}$，$\sqrt{\frac{27}{2}}$]，
∴S_△AOB∈[$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1]，∴S_△AOB的取值范围为[$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1]．

点评 本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查椭圆的定义和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，弦长公式和基本不等式，属于中档题．