题目内容
【题目】已知函数f(x)=ex﹣2mx﹣n(0<x<1),其中m,n∈R,e为自然对数的底数.
(1)试讨论函数f(x)的极值;
(2)记函数g(x)=ex﹣mx2﹣nx﹣1(0<x<1),且g(x)的图象在点处的切的斜率为
,若函数g(x)存在零点,试求实数m的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)求导后对的取值分类,注意在定义域内,得函数有无极值,且求出极值;
(2)求导得到等于
,求出在
处的导数值,既是在
处的切线的斜率,由题意得
的关系,然后讨论
的范围使
存在零点,进而求出
的范围.
(1) ,①当2m≤1时,即
时,1
ex
e,∴
,f(x)在(0,1)上单调递增,f(x)无极值;
②当2m≥e时,即时,
,f(x)在(0,1)上单调递减,f(x)无极值;
③当<e时,
,x=ln2e,当
时,f(x)
0,f(x)单调递减,
当1x
ln2e时,
,函数f(x)单调递增,所以(0,1)上函数f(x)有极大值,无极小值,且极大值为f(ln2e)=2e﹣2mln2e﹣n;
综上:当或
,函数f(x)无极值;
当<e时,f(x)的极小值为2m﹣2mln2m﹣n,无极大值;
(2)由题意得:g'(x)=ex﹣2mx﹣n,
g(x)的图象在点处的切线的斜率为1﹣
,
而g'﹣n,所以m+n=e﹣1,
∴n=e﹣1﹣m,g(x)=ex﹣mx2﹣(e﹣m﹣1)x﹣1,
所以g(0)=0,g(1)=e﹣m﹣(e﹣m﹣1)﹣1=0,
设x0为g(x)在区间(0,1)内的零点,则g(0)g(x0)=0,
可知g(x)在区间(0,x0)内不可能单调递增,也不可能单调递减,
故g'(x)不可能恒为正,也不可能恒为负,故g(x)在(0,x0)内存在零点x1,在区间(x0,1)内存在零点x2,所以g'(x)=f(x)在区间(0,1)内至少有两个零点,
由(1)知当时,g'(x)在区间(0,1)单调递增,
故g'(x)在区间(0,1)内至多有一个零点;
当时,g'(x)在区间(0,ln2m)内单调递减,(ln2m,1)内单调递增,
所以x1∈0,ln2m),x2∈(ln2m,1),
则g'(0)=1﹣(e﹣m﹣1)0,g'(1)=e﹣2m﹣(e﹣m﹣1)
0,
g'(ln2m)=2m﹣2mln2m﹣n=3m﹣2mln2m+1﹣e0,
令h(x)﹣xlnx+1﹣e,(
),
则h'(x),令h'(x)=0,则得
,
当1时,h'(x)
,g(x)单调递增,
当时,h'(x)
0,h(x)单调递减,
所以h(x)最大值=h(1﹣
;所以g'(ln2m)
0恒成立,
由得
,
综上,实数m的取值范围(e﹣2,1)
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