题目内容

【题目】如图,直三棱柱中,的中点.

(I)若上的一点,且与直线垂直,求的值;

(Ⅱ)在(I)的条件下,设异面直线所成的角为45°,求点到平面的距离.

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

(Ⅰ) 取中点,可知,利用面面垂直可证得平面,进而得到,根据线面垂直性质得,从而可证得;从而利用平行线分线段成比例求得结果;(Ⅱ)利用,根据异面直线成角和分别求解出所需线段长和,从而构造方程求解出点到面的距离.

(Ⅰ)证明:取中点,连接

中点,则有

又因为三棱柱为直三棱柱 平面平面

平面平面 平面

平面

,平面,平面

平面,又平面

连接,设,因为为正方形

平面平面

的中点 的中点

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

可求得

由余弦定理可得:

连接,连接

在三棱锥及三棱锥中,

到平面的距离为

所以,即点到平面的距离为

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