Question

【题目】已知圆：，动点，线段与圆相交于点，线段的长度与点到轴的距离相等.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交曲线于，两点，交圆于，两点，其中在线段上，在线段上，求的最小值及此时直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）4，.

【解析】

（1）根据已知条件可知等于点到直线的距离，由抛物线定义可得轨迹方程；（2）由三点共线，可根据向量坐标运算得到；根据抛物线定义可求得，利用基本不等式求得最小值；再根据最值成立条件求得点坐标，从而可求得直线斜率.

（1）由题知：点到的距离等于到轴的距离加

等于到直线的距离

由抛物线的定义可知：

点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线

所以动点的轨迹的方程为：

（2）设，，，

三点共线 与共线

，整理得：

由抛物线的定义得：

由基本不等式：

当且仅当时等号成立，即，即成立

又 或

或

所以的最小值为，此时直线的斜率为