Question

【题目】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2，4)，圆，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为________．

Answer 1

【答案】42

【解析】

设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．

设抛物线的方程：y2＝2px（p＞0），则16＝2p×2，则2p＝8，

∴抛物线的标准方程：y2＝8x，焦点坐标F（2，0），

由直线PQ过抛物线的焦点，则，

圆C2：（x﹣2）2+y2＝1圆心为（2，0），半径1，

|PN|+9|QM|＝|PF|+1+9（|QF|+1）

＝|PF|+9|QF|+10＝2（|PF|+9|QF|）×（）+10

＝2（10）+10≥2（10+2）+10＝42，

∴|PN|+9|QM|的最小值为42，

故答案为42．