题目内容
【题目】已知数列的前n项和为
且
,其中
为常数.
(1)求的值及数列
的通项公式;
(2)记,数列
的前n项和为
,若不等式
对任意
恒成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
【解析】
(1)将代入已知等式即可求得
的值;利用作差法即可求得数列
的通项公式;(2)由(1)求得
及
,构造新函数
,进而可得其最大项的值,从而可得k的取值范围.
(1)由题意,数列满足
,
令,可得
,
又由,解得
.
因为,则
两式相减,可得,整理得
,
所以数列是以首项为4,公比为2的等比数列,
所以数列的通项公式为
.
(2)由(1)可得,
所以,
因为恒成立,即
恒成立,
即对任意
恒成立,
设,则
,
当时,
,数列
单调递减;
当时,
,数列
单调递增,
又因为,所以数列
最大项的值为
,
所以,即k的取值范围为
.
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