题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)写出曲线C的普通方程和极坐标方程;
(Ⅱ)M,N为曲线C.上两点,若OM⊥ON,求|MN|的最小值.
【答案】(Ⅰ).
.(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)直接利用转换关系,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
(Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果.
解:(Ⅰ)曲线C的参数方程为t为参数),转换为直角坐标方程为4x2﹣y2=4,整理得
.
根据,转换为极坐标方程为
.
(Ⅱ)M,N为曲线C.上两点,设对应的极径为ρ1,ρ2,
所以,
.
所以,
由于,解得
,
所以,
即,
故,当且仅当tan2θ=1时,等号成立.
故,
即.

【题目】绿水青山就是金山银山.某山村为做好水土保持,退耕还林,在本村的山坡上种植水果,并推出山村游等旅游项目.为预估今年7月份游客购买水果的情况,随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额.分组如下:,
,
,得到如图所示的频率分布直方图:
(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点作代表).
(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客,称为“水果达人”. 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系?
水果达人 | 非水果达人 | 合计 | |
男 | 10 | ||
女 | 30 | ||
合计 |
(3)为吸引顾客,商家特推出两种促销方案.方案一:每满80元可立减10元;方案二:金额超过80元可抽奖三次,每次中奖的概率为,且每次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.若每斤水果10元,你打算购买12斤水果,请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案.
附:参考公式和数据:,
.临界值表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |