Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 若对于任意的n∈N* ， 都有Sn=2an﹣3n．
（1）求证{an+3}是等比数列
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）求数列{an}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的n∈N*，都有Sn=2an﹣3n．

∴令n=1，则a1=S1=2a1﹣3．解得a1=3，

又Sn+1=2an+1﹣3（n+1），Sn=2an﹣3n，

两式相减得，

an+1=2an+1﹣2an﹣3，则an+1=2an+3，

∴an+1+3=2（an+3），

又a1+3=6，

∴{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列

（2）解：∵{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列．

∴an+3=6×2n﹣1，∴an=6×2n﹣1﹣3

（3）解：∵an=6×2n﹣1﹣3．

∴数列{an}的前n项和：

Sn=6× ﹣3n=6×2n﹣3n﹣6

【解析】（1）令n=1，则a1=S1=2a1﹣3．求出a1=3，由Sn+1=2an+1﹣3（n+1），得Sn=2an﹣3n，两式相减，推导出an+1+3=2（an+3），由此能证明{an+3}是首项为6，公比为2的等比数列．（2）由an+3=6×2n﹣1 ， 能求出数列{an}的通项公式．（3）由an=6×2n﹣1﹣3，能求出数列{an}的前n项和．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．