题目内容
【题目】已知数列、
满足:
,
,
,
.
(1)求,
,
,
;
(2)求证:数列是等差数列,并求
的通项公式;
(3)设,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1),
,
,
(2)证明见解析,
(
)(3)
【解析】
(1)根据已知条件求得与
的递推关系式,由此先求出
,进而依次求得
的值.
(2)由(1)中求得的与
的递推关系式,利用配凑法证得数列
是等差数列,由此求得数列
的通项公式,进而求得数列
的通项公式.
(3)由(2)求得数列的通项公式,利用裂项求和法求得
.
解法一:利用分离常数法化简不等式,得到
,利用数列的单调性证得
,由此求得
的取值范围.
解法二:通过差比较法,化简,对
分类讨论,结合二次函数的性质求得
的取值范围.
(1)由于,所以
,
因为,所以,
,
,
,
.
(2),
,
所以,,
所以,数列是以
为首项,
为公差的等差数列.
所以,,
(
).
(3)因为,从而
,
所以,
,
解法一:
所以,不等式化为
,
即当
时恒成立,
令,
则随着
的增大而减小,且
恒成立.
故,所以,实数
的取值范围是
.
解法二:
,
若不等式对任意
恒成立,则当且仅当
对任意
恒成立.
设,由题意,
,
当时,
恒成立;
当时,函数
图像的对称轴为
,
在
上单调递减,即
在
上单调递减,故只需
即可,
由,得
,所以当
时,
对
恒成立.
综上所述,实数的取值范围是
.

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