题目内容
我们将不与抛物线对称轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点称为切点．解决下列问题：
已知抛物线
上的点
到焦点的距离等于4，直线
与抛物线相交于不同的两点
、
，且
（
为定值）．设线段
的中点为
，与直线平行的抛物线的切点为
．.
（1）求出抛物线方程，并写出焦点坐标、准线方程；
（2）用
、
表示出点、点的坐标，并证明
垂直于
轴；
（3）求
的面积，证明的面积与、无关，只与有关.
（1）
，
，
，（2）
，
，（3）
.
解析试题分析：（1）由抛物线定义得：
，即
，因此抛物线方程为，焦点坐标，准线方程为．（2）因为D点为直线与抛物线的交点A，B中点，所以求D点坐标就根据直线方程与抛物线方程联立方程组，利用韦达定理求解，即由
，得
，
，点.因为C点为切点，利用切线方程与抛物线方程联立方程组后的判别式为零进行求解，即由
,得
，得.由于、的横坐标相同，
垂直于轴．（3）求三角形面积，必须观察结构，合理选用底边与高.本题将CD选为底,则
为高，利用（1）求出
，则
.的面积与、无关，只与有关．
试题解析：（1）
，得，抛物线方程为． 2分
焦点坐标，准线方程为． 4分
（2）由，得，
点 6分
设切线方程为
，由,得，
，切点的横坐标为
，得 8分
由于、的横坐标相同，垂直于轴． 10分
（3）
，
． 12分． 15分的面积与、无关，只与有关． 16分
（本小题也可以求
，切点到直线
的距离
，相应给分）
考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系
练习册系列答案
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中，
，
．以
的中点
为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系．
、
为焦点，且过
、
两点的椭圆的标准方程；
的直线
交(1)中椭圆于
两点，是否存在直线
为直径的圆恰好过坐标原点？若存在，求出直线
的离心率
，且直线
是抛物线
的一条切线.
为椭圆上一点，直线
，判断l与椭圆的位置关系并给出理由；
于点A，试判断线段AP为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
的右焦点为
，短轴的端点分别为
,且
.
的方程；
的直线
交椭圆于
两点，弦
的垂直平分线与
轴相交于点
.设弦
，试求
的取值范围．
的准线与x轴交于点M，过点M作圆
的两条切线，切点为A、B，
.
的右焦点为F，P为椭圆上的一个动点．
时，求直线l的方程．
的左、右焦点分别为
,离心率
，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为
.
是直线
上的不同两点，若
,求
的最小值.
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，
的中点在直线
上．
在椭圆上（异于点
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
经过点
，一个焦点为
．
的方程；
与
轴交于点
，与椭圆
两点，线段
的垂直平分线与
，求
的取值范围．