题目内容
巳知椭圆
的离心率是
.
⑴若点P(2,1)在椭圆上，求椭圆的方程；
⑵若存在过点A(1,0)的直线
，使点C(2,0)关于直线的对称点在椭圆上，求椭圆的焦距的取值范围.
⑴
；⑵椭圆的焦距的取值范围是
.
解析试题分析：⑴
，
，再将点
的坐标代入椭圆的方程，这样便有三个方程，三者联立，即可求出
，从而得椭圆的方程.⑵显然斜率不存在或斜率等于0时，不可能满足题意.故可设直线l的方程为：
，这样可将点C(2,0)关于直线l的对称点的坐标用
表示出来，然后代入椭圆的方程，从而得一关于的方程：
.设
，因此原问题转化为关于t的方程
有正根.根据二次方程根的分布可得
.进而求得椭圆的焦距的取值范围.
试题解析：⑴
,
∵点P(2,1)在椭圆上,∴
5分
⑵依题意，直线l的斜率存在且不为0，则直线l的方程为：.
设点C(2,0)关于直线l的对称点为
，则
若点在椭圆
上，则
设，因此原问题转化为关于t的方程有正根.
①当
时，方程一定有正根；
②当
时，则有
∴综上得.
又椭圆的焦距为
.
故椭圆的焦距的取值范围是(0,4] 14分
考点：1、椭圆的方程；2、直线与椭圆.
练习册系列答案
相关题目
中，如图，已知椭圆E：
的左、右顶点分别为
、
，上、下顶点分别为
、
．设直线
的倾斜角的正弦值为
，圆
与以线段
为直径的圆关于直线
，求圆
的准线与x轴交于点M，过点M作圆
的两条切线，切点为A、B，
.
的左、右焦点分别为
,离心率
，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为
.
是直线
上的不同两点，若
,求
的最小值.
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，
的中点在直线
上．
在椭圆上（异于点
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
为椭圆
右焦点，圆
与椭圆
，且直线
与圆
相切于点
.
的值及椭圆
满足
，其中M、N是椭圆
为原点，直线OM与ON的斜率之积为
，求证：
为定值.
和
,圆
是以
的圆,点
是圆
的垂直平分线
和半径
所在的直线交于点
.
；
，
是曲线
（
为坐标原点），求实数
的取值范围.
．
相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
,若过
两点,若
,求直线
的斜率；
正半轴上
点的直线与该抛物线交于
为抛物线上异于
连线的斜率为
试求满足
成等差数列的充要条件．