题目内容
【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是边长为2的正三角形，AB=BD= 
，PB= 
（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）设Q是棱PC上的点，当PA∥平面BDQ时，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．
【答案】解：（Ⅰ）证明：取AD中点O，连结OP，OB， ∵PAD是边长为2的正三角形，∴ 
，
∵ 
，
∴OB2+OP2=PB2 ， 则OP⊥OB，
∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，
又OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：连接AC交BD于E，连接QE，
∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QE，
又E为AC的中点，∴Q为PC的中点．
以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（0，2，0），D（﹣1，0，0），Q（﹣1，1， 
）．
．
设平面BDQ的一个法向量为 
．
由 
，得 
，取z=2 
，得 
．
由图可知，平面ABD的一个法向量 
．
∴cos＜ 
＞= 
= 
．
∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值为 
．
【解析】（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由线面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，进一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）连接AC交BD于E，连接QE，由线面平行的性质可得PA∥QE，则Q为PC的中点．以O为原点，分别以OA、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面BDQ与平面ABD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．
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