题目内容
【题目】（本小题满分12分）
如图在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4,点D是AB的
中点.
(1) 求证： AC⊥BC1
(2) 求证：AC1∥平面CDB1
(3) 求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
【答案】
【解析】
试题分析：（1）由勾股定理计算得AC⊥BC，再由直棱柱性质得C1C⊥AC，最后根据线面垂直判定定理得AC⊥平面BCC1B1，即得AC⊥BC1.（2）设CB1与C1B的交点为E，由三角形中位线性质得DE∥AC1，再根据线面平行判定定理得结论（3）因为DE∥AC1，所以∠CED为AC1与B1C所成的角．再根据解三角形得所成角的余弦值．
试题解析：(1)证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC.
又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1平面BCC1B，∴AC⊥BC1.
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1.
∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1，
∴∠CED为AC1与B1C所成的角．在△CED中，ED＝
AC1＝
，
CD＝AB＝，CE＝CB1＝2
，∴cos∠CED＝
＝.
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.
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