题目内容
【题目】已知圆心在轴上的圆
与直线
切于点
.
(1)求圆的标准方程;
(2)已知,经过原点,且斜率为正数的直线
与圆
交于
两点.
(ⅰ)求证: 为定值;
(ⅱ)求的最大值.
【答案】(1);(2)(ⅰ)见解析;(ⅱ)
.
【解析】试题分析:(1)由题意可知, ,解得
,可求得半径
,得圆的方程.
(2)(i)设直线l的方程为,与圆的方程联立,可得
,利用韦达定理即可证明;
(ii)表示
再求最值即可.
试题解析:(1)设圆心的坐标为
,则
,又
,
由题意可知, ,则
,
故,所以
,即半径
.
故圆的标准方程为
.
(2)设直线的方程为
,
由得:
,
所以,
.
(ⅰ)为定值,
(ⅱ)
(当且仅当,即
时等号成立)
故的最大值为
.
点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
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