题目内容
【题目】南通风筝是江苏传统手工艺品之一.现用一张长2 m,宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面,裁剪方法如下:分别在边AB,AD上取点E,F,将三角形AEF沿直线EF翻折到处,点
落在牛皮纸上,沿
,
裁剪并展开,得到风筝面
,如图1.
(1)若点E恰好与点B重合,且点在BD上,如图2,求风筝面
的面积;
(2)当风筝面的面积为
时,求点
到AB距离的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)建立直角坐标系,求得直线的方程为
,利用点F到AB与BD的距离相等列方程可得:
,求得
,问题得解。
(2)建立直角坐标系,设,
,
,求得直线
的方程为
,利用点
与
关于直线
对称可得:
,利用四边形
的面积为
可得
,整理得:
,利用导数求得
的最小值为
,即可求得
的最大值为
,问题得解。
(1)方法一:建立如图所示的直角坐标系.
则,
,
直线的方程为
.设
(
),因为点F到AB与BD的距离相等,
所以,解得
或
(舍去). 所以△ABF的面积为
,
所以四边形的面积为
.所以风筝面
的面积为
.
方法二:设,则
.在直角△ABD中,
,
所以,解得
或
(舍去). 所以
.
所以△ABF的面积为,所以四边形
的面积为
.
所以风筝面的面积为
.
(2)方法一:建立如图所示的直角坐标系.
设,
,
,
则直线的方程为
,因为点A与
关于直线
对称,
所以解得
.
因为四边形的面积为
,所以
, 所以
.
因为,
,所以
.
设,
.
,
令,得
或
(舍去).列表如下:
0 | |||
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
当时,
取得极小值,即最小值
,
所以的最大值为
,所以点
到AB距离的最大值为
。
方法二:设,
,则
.因为四边形
的面积为
,所以
,
即,所以
.过点
作AB的垂线
,垂足为T,
则
.
因为,
,所以
.
(下同方法一)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某大型超市公司计划在市新城区开设分店,为确定在新城区开设分店的个数,该公司对该市已开设分店的其他区的数据统计后得到下列信息(其中
表示在该区开设分店的个数,
表示这
个分店的年收入之和):
分店个数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年收入 | 250 | 300 | 400 | 450 | 600 |
(Ⅰ)该公司经过初步判断,可用线性回归模型拟合与
的关系,求
关于
的回归方程;
(Ⅱ)假设该公司每年在新城区获得的总利润(单位:万元)与
,
之间的关系为
,请根据(Ⅰ)中的线性回归方程,估算该公司在新城区开设多少个分店时,才能使新城区每年每个分店的平均利润最大.
参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
【题目】为响应低碳绿色出行,某市推出“新能源分时租赁汽车”,其中一款新能源分时租赁汽车,每次租车收费得标准由以下两部分组成:(1)根据行驶里程数按1元/公里计费;(2)当租车时间不超过40分钟时,按0.12元/分钟计费;当租车时间超过40分钟时,超出的部分按0.20元/分钟计费;(3)租车时间不足1分钟,按1分钟计算.已知张先生从家里到公司的距离为15公里,每天租用该款汽车上下班各一次,且每次租车时间t20,60(单位:分钟).由于堵车,红绿灯等因素,每次路上租车时间t是一个随即变量.现统计了他50次路上租车时间,整理后得到下表:
租车时间t(分钟) | [20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
频数 | 2 | 18 | 20 | 10 |
将上述租车时间的频率视为概率.
(1)写出张先生一次租车费用y(元)与租车时间t(分钟)的函数关系式;
(2)公司规定,员工上下班可以免费乘坐公司接送车,若不乘坐公司接送车的每月(按22天计算)给800元车补.从经济收入的角度分析,张先生上下班应该选择公司接送车,还是租用该款新能源汽车?