题目内容
【题目】已知函数.
(1)若函数在其定义域内单调递增,求实数的最大值;
(2)当,确定函数零点的个数;
(3)若存在正实数对,使得当时,能成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)个;(3).
【解析】
(1)由题意可知,对任意的恒成立,利用参变量分离法和基本不等式可求得实数的最大值;
(2)当时,,利用导数分析函数的单调性,并求出该函数的极大值和极小值,进而可得出函数的零点个数;
(3)当时,由可得,令,构造函数,利用导数求出函数在区间上的值域,即可得出实数的取值范围.
(1)函数的定义域为,,
由题意可知对任意的恒成立,,
当时,由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,
所以,,因此,实数的最大值为;
(2)当时,,定义域为,.
令,得或,列表如下:
极大值 | 极小值 |
所以,函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
所以,函数的极大值为,极小值为,
且,
所以,函数只有一个零点;
(3),,
,
令,得,构造函数,,
令,得,,解得,
当时, ;当时,.
所以,函数的单调递减区间为,单调递增区间为.
所以,函数的最小值为,
当时,;当时,.
因此,实数的取值范围是.
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