题目内容
【题目】设
是一个由
和
构成的
行
列的数表，且中所有数字之和不小于
，所有这样的数表构成的集合记为
，记
为的第
行各数之和
，
为的第
列各数之和
，
为
、
、
，
、
、
、、
中的最大值.
（1）对如下数表，求的值；
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（2）设数表
，求的最小值；
（3）已知
为正整数，对于所有的
，
，且的任意两行中最多有
列各数之和为，求的值.
【答案】（1）
；（2）；（3）
.
【解析】
（1）计算出
、
、
、
、
、
的值，根据题中定义可得出
的值；
（2）由题意知，
中所有数字之和的最小值为
，则中至少有个
，只有当每行或每列都放个，才能使得取到最小值，然后就某行某列分别放
个、个、个，列举出其他
行（或列）的个数，得出的最小值，于此得出
；
（3）先计算出数表中的元素之和为
，由题意定义得出
，可得出
，然后分别就
、
、、
、
时就的任意两行中数字之和为的列数进行分析，可得出
的值.
（1）由题意可得
，
，
；
（2）由题意可得，中所有数字之和不小于，即至少有个.
而要使最小，则中只有个，此时如表排列.
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下面利用来说明.
①当某行某列全都是时，则其他行（或列）的个数分别为：
、
、
、
，此时
；
②当某行某列只放个时，则其他行（或列）的个数分别为：
、
、
、
，则；
③当某行过某列放个时，则其他行（或列）的个数分别为：
、
、
、
，此时.
由上可知，；
（3）
，
中所有数字之和为
，
由题意可得，解得.
①当时，每行中仅有列为，任意两行中至多有
列和为，舍去；
②当
时，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，舍去；
③当
时，如下表所示，每行中仅有列为，任意两行中至多有列和为，
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合乎题意；
④当
或时，不成立.
综上所述，.
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