题目内容
【题目】已知函数
.
（1）证明函数
在
上是减函数，
上是增函数；
（2）若方程
有且只有一个实数根，判断函数
的奇偶性；
（3）在（2）的条件下探求方程
的根的个数.
【答案】（1）证明详见解析；（2）
为偶函数；（3）
时
只有一解，
时有两解.
【解析】
试题分析：（1）函数
，利用函数单调性定义进行证明，设
的
上任意两个不等的实数，且
，则
，
，由于
，所以
，则
，所以函数
在区间
上单调递减，同理可证在区间
单调递增；（2）方程
等价于方程
有且只有一个实数根，则
，因为
，所以
，则此时函数
，
，易证明函数
为奇函数；（3）在（2）的条件下，
即
，根据第（2）证明所得的单调性可知，当
即时只有一解 ，当
即时有两解.
试题解析：（1）由题意：
任取
且使
则
在
上是减函数
同理可证 
在 
上是增函数
（2）由题意知方程有且只有一个实数根
又
此时
，
又
的定义域为
关于原点对称，
且
，
是奇函数
（3）由（2）知可化为
又由（1）（2）知：
当 即时只有一解
当 即时有两解
综上，当时只有一解；
当
时有两解；
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【题目】某单位共有10名员工，他们某年的收入如下表：
员工编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年薪（万元） | 3 | 3.5 | 4 | 5 | 5.5 | 6.5 | 7 | 7.5 | 8 | 50 |
（1）从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为
，求
的分布列和期望；
（2）已知员工年薪收入
与工作所限
成正相关关系，某员工工作第一年至第四年的年薪如下表：
工作年限 | 1 | 2 | 3 | 4 |
年薪（万元） | 3.0 | 4.2 | 5.6 | 7.2 |
预测该员工第五年的年薪为多少？
附：线性回归方程
中系数计算公式和参考数据分别为：
，
，其中
为样本均值，
，
，（
）
