题目内容
【题目】已知函数
(其中
， 
).
(1)若函数
在
上为增函数，求实数
的取值范围；
(2)当
时，求函数
在
上的最大值和最小值；
(3)当
时，求证：对于任意大于1的正整数
，都有
.
【答案】(1) 
；（2）最大值是
，最小值是0；（3）证明见解析 .
【解析】试题分析：（1）先求出函数
的导数
，由题意可知：当
时， 
恒成立，解出
的取值范围即可；（2）求导函数，确定函数的单调性，比较端点的函数值，即可求得结论；（3）利用（2）的结论，只要令
，利用放缩法证明即可.
试题解析：(1) 
， 
函数
在
上为增函数， 
对任意
恒成立. 
对任意
恒成立，即
对任意
恒成立. 
时， 
， 
所求正实数
的取值范围是
.
(2)当
时， 
， 
当
时， 
，故
在
上单调递减； 
当
时， 
，故
在
上单调递增；
在
上有唯一的极小值点，也是最小值点， 
又因为
， 
， 
， 
所以
在
上有的最大值是
综上所述， 
在
上有的最大值是
，最小值是0
(3)当
时， 
， 
，故
在
上是增函数.
当
时，令
，则当
时， 
所以
，即
所以
对于任意大于1的正整数
，都有
.
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