题目内容
(本小题满分14分)已知函数
,
.
(Ⅰ)求函数
的单调区间;(Ⅱ)若函数
在[
上有零点,求
的最大值;(Ⅲ)证明:
在其定义域内恒成立,并比较
与
(
且
)的大小.


(Ⅰ)求函数










(Ⅰ)单调递增区间为
,单调递减区间为
(Ⅱ) -2(Ⅲ)略


:(Ⅰ)由题知:
的定义域为(0,+∞)∵
∴函数
的单调递增区间为
的单调递减区间为
(Ⅱ)∵
在x∈
上的最小值为
且
=
∴
在x∈
上没有零点,∴要想使函数
在
(n∈Z)上有零点,并考虑到
在
单调递增且在
单调递减,故只须
且
即可,
易验证
,当n≤-2且n∈Z时均有
,即函数
在
上有零点,∴n的最大值为-2.
(Ⅲ)要证明
,即证
只须证lnx-x+1
上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由
则在x=1处有极大值(也是最大值)h(1)=0∴lnx-x+1
上恒成立.
∴
∴

=(n-1)-
<(n-1)-[
]
=(n-1)-(
=
∴
<
.


∴函数




(Ⅱ)∵



且


∴









易验证





(Ⅲ)要证明




则在x=1处有极大值(也是最大值)h(1)=0∴lnx-x+1

∴



=(n-1)-


=(n-1)-(

=




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