题目内容
（本小题满分14分）已知函数
，
.
（Ⅰ）求函数
的单调区间；（Ⅱ）若函数在[
上有零点，求
的最大值；（Ⅲ）证明：
在其定义域内恒成立，并比较
与
（
且
）的大小.
，.（Ⅰ）求函数
的单调区间；（Ⅱ）若函数在[上有零点，求的最大值；（Ⅲ）证明：在其定义域内恒成立，并比较与（且）的大小.(Ⅰ)单调递增区间为
，单调递减区间为
(Ⅱ) -2（Ⅲ）略
，单调递减区间为 (Ⅱ) -2（Ⅲ）略：（Ⅰ）由题知：
的定义域为（0,+∞）∵
∴函数的单调递增区间为 的单调递减区间为
(Ⅱ)∵在x∈
上的最小值为
且=
∴在x∈上没有零点，∴要想使函数在
（n∈Z）上有零点，并考虑到在
单调递增且在单调递减，故只须
且
即可，
易验证
，当n≤-2且n∈Z时均有
，即函数在
上有零点，∴n的最大值为-2.
(Ⅲ)要证明，即证
只须证lnx-x+1
上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由
则在x=1处有极大值（也是最大值）h(1)=0∴lnx-x+1上恒成立.
∴
∴
=(n-1)-
<(n-1)-[
]
=(n-1)-(
=
∴<.
的定义域为（0,+∞）∵∴函数
的单调递增区间为 的单调递减区间为(Ⅱ)∵
在x∈上的最小值为且
=∴
在x∈上没有零点，∴要想使函数在（n∈Z）上有零点，并考虑到在单调递增且在单调递减，故只须且即可，易验证
，当n≤-2且n∈Z时均有，即函数在上有零点，∴n的最大值为-2.(Ⅲ)要证明
，即证只须证lnx-x+1上恒成立.令h(x)=lnx-x+1(x>0),由则在x=1处有极大值（也是最大值）h(1)=0∴lnx-x+1
上恒成立.∴
∴=(n-1)-
<(n-1)-[]=(n-1)-(
=
∴<.
练习册系列答案
相关题目
的单调区间；
在点
和
处的切线都与
轴垂直，若方程
在区间
上有解，求实数
的取值范围。
；
，x0=2；
，x0=1.
是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的
，都有
，且
，又当
时，其导函数
恒成立。
的值；
，其中
.（Ⅰ）若曲线
在点
处与直线
相切，求
的值；（Ⅱ）求函数
的单调区间与极值点.
,则
等于（ ）
，
=
，
，则
是（ ）
