题目内容
【题目】设函数.
(1)试讨论函数的单调性;
(2)若,证明:方程
有且仅有3个不同的实数根.(附:
,
,
)
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)先对函数求导,分类讨论和
两种情况,即可得出结果;
(2)将代入函数解析式,得到
,根据(1)中结果,得到函数单调性,求出函数极值,即可得出结果.
解:(1)由,
得,
令,
所以,
所以当时,
,
恒成立,
即恒成立,
所以单调递增;
当时,
,此时方程
有两个不相等的根
,
,不妨设
,
令
,
所以,
,
所以当时,
,
即,所以
单调递增;
当时,
,
即,所以
单调递减;
当时,
,
即,所以
单调递增.
综上,当时,
在
上单调递增;
当时,
的单调递增区间为
,
;
的单调递减区间为
.
(2)当时,
,
由(1)知,函数在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
所以当时,函数
有极大值,且
,
当时,函数
有极小值,
且
.
又因为,
,
所以直线与函数
的图象在区间
上有且仅有3个交点,
所以当时,方程
有且仅有3个不同的实数根.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目