题目内容
【题目】已知函数.
(I)讨论函数的单调性;
(II)若存在两个极值点
,求证:
.
【答案】(I)见解析;(II)见解析
【解析】
(I),讨论k,确定
的正负即可求其单调性;(II)由(I)
存在两个极值点
,
,得
,且
,整理
,证明
,即可得解
(I)由题意得,函数的定义域为
,
.
当时,
在
上恒成立,则
在
上单调递增;
当时,若
,即
时,
在
上恒成立,
则在
上单调递增;若
,即
时,
令,解得
,
令,解得
或
,令
,解得
,
在
和
上单调递增,
在上单调递减.
综上所述,当时,
在
上单调递增;
当时,
在
和
上单调递增,
在上单调递减.
(II)由(I)得,若存在两个极值点
,
,则
,且
,
则
.
下面先证明:设
,则
,
易得在
上单调递增,在
上单调递减,
,
,即
.
,
又由(I)得在区间
上单调递减,
.
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练习册系列答案
相关题目
【题目】某工厂生产、
两种零件,其质量测试按指标划分,指标大于或等于
的为正品,小于
的为次品.现随机抽取这两种零件各100个进行检测,检测结果统计如下:
测试指标 | |||||
| 8 | 12 | 40 | 30 | 10 |
| 9 | 16 | 40 | 28 | 7 |
(Ⅰ)试分别估计、
两种零件为正品的概率;
(Ⅱ)生产1个零件,若是正品则盈利50元,若是次品则亏损10元;生产1个零件
,若是正品则盈利60元,若是次品则亏损15元,在(Ⅰ)的条件下:
(i)设为生产1个零件
和一个零件
所得的总利润,求
的分布列和数学期望;
(ii)求生产5个零件所得利润不少于160元的概率.