题目内容

若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x-1)<0的x的取值范围是(  )
分析:根据f(x)的奇偶性及在(-∞,0]上的单调性可得f(x)在(0,+∞)上的单调性,再根据特殊点可得f(x)的草图,根据图象可得不等式的解集.
解答:解:∵f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∵f(2)=0,∴f(-2)=-f(2)=0,
作出函数f(x)的草图如图所示:
由图象可知,f(x-1)<0可化为-2<x-1<2,解得-1<x<3,即使f(x-1)<0的x的取值范围为(-1,3),
故选C.
点评:本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用,考查不等式的求解,抽象不等式的求解往往借助函数的单调性化为具体不等式解决.
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