Question

【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），等比数列{bn}的前n项和为Tn（n∈N*），已知a1＝3，b1＝1，a3+b2＝10，S3﹣T2＝11．

（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式：

（Ⅱ）若数列{cn}满足c1＝1，cn+1﹣cn＝an，求c100；

（Ⅲ）设数列dn＝anbn，求{dn}的前n项和Kn．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝2n+1，bn＝3n，n∈N*；（Ⅱ）10000；（Ⅲ）Kn＝n3n+1．

【解析】

（Ⅰ）等差数列{an}的公差设为d，等比数列{bn}的公比设为q，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而得到所求通项公式；

（Ⅱ）求得cn+1﹣cn＝an＝2n+1，由数列的恒等式cn＝c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（cn﹣cn﹣1），结合等差数列的求和公式，计算可得所求和；

（Ⅲ）求得dn＝anbn＝（2n+1）3n，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．

（Ⅰ）等差数列{an}的公差设为d，前n项和为Sn（n∈N*），

等比数列{bn}的公比设为q，前n项和为Tn（n∈N*），

由a1＝3，b1＝1，a3+b2＝10，S3﹣T2＝11，

可得3+2d+q＝10，9+3d﹣（1+q）＝11，

解得d＝2，q＝3，

则an＝3+2（n﹣1）＝2n+1，bn＝33n﹣1＝3n，n∈N*；

（Ⅱ）若数列{cn}满足c1＝1，cn+1﹣cn＝an＝2n+1，

可得cn＝c1+（c2﹣c1）+（c3﹣c2）+…+（cn﹣cn﹣1）＝1+3+5+…+（2n﹣1）

n（1+2n﹣1）＝n2，

则c100＝1002＝10000；

（Ⅲ）dn＝anbn＝（2n+1）3n，

Kn＝33+532+733+…+（2n+1）3n，

3Kn＝332+533+734+…+（2n+1）3n+1，

两式相减可得﹣2Kn＝9+2（32+33+…+3n）﹣（2n+1）3n+1

＝9+2（2n+1）3n+1，

化简可得Kn＝n3n+1．