题目内容
【题目】已知点为圆
上的动点,点
在
轴上的投影为
,点
为线段AB的中点,设点
的轨迹为
.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)已知直线与
交于
两点,
,若直线
的斜率之和为3,直线
是否恒过定点?若是,求出定点的坐标;若不是,请说明理由.
【答案】(1);(2)恒过定点(
,
).
【解析】
(1)设点,由题意可知
,得到
,代入化简得到答案.
(2)设M(x1,y1),B(x2,y2),考虑斜率存在和斜率不存在两种情况,联立方程,利用韦达定理,根据斜率和为3得到,得到定点.
(1) 设点,由题意可知
,
为
中点,即
,即
,
又点在圆上,
,代入得
,得到轨迹方程为
.
(2)设M(x1,y1),B(x2,y2),
①当l的斜率存在时,设l:y=kx+m,
由,得
,
,即4k2﹣m2+1>0,
∴,
,
∵直线QM,QN的斜率之和为3,∴,
∴2k+=3,∴2k
=3,∴
,
,
当时,由 4k2﹣m2+1>0,故
,即
或
时符合题意,
此时直线l:y=kx+恒过定点(
,
);
②当l的斜率不存在时,x1=x2,y1=﹣y2,
∵直线QM,QN的斜率之和为3,∴,
∴x2=,此时直线l:x=
,恒过定点(
,
).
综上所述:直线过定点(,
).
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【题目】某种工业机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案:
方案一:交纳延保金700元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费200元;
方案二:交纳延保金1000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费100元.
某工厂准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 20 | 10 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据,工厂选择哪种延保方案更合算?