题目内容

8.已知函数f(x)=λsinx+cosx图象的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$,则此函数的最大值为$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$.

分析 由于函数f(x)=λsinx+cosx=$\sqrt{{λ}^{2}+1}$sin(x+φ)图象的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$,可得$λsin\frac{π}{6}$+$cos\frac{π}{6}$=$±\sqrt{{λ}^{2}+1}$,
解出即可.

解答 解:∵函数f(x)=λsinx+cosx=$\sqrt{{λ}^{2}+1}$sin(x+φ)图象的一条对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$,
∴$λsin\frac{π}{6}$+$cos\frac{π}{6}$=$±\sqrt{{λ}^{2}+1}$,
解得λ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴此函数的最大值为$\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{3})^{2}+1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
故答案为:$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$.

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、两角和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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