题目内容
13.已知命题p:函数f(x)=x2+2mx+2+m2在区间[2,+∞)上是增函数,命题q:函数g(x)=4x-2x+1+m2-m+3的最小值大于4,
命题r:函数h(x)=(m2-m-2)x2+2mx+1的函数值恒大于0,
(1)若“非r”为假命题,求实数m的取值范围;
(2)若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数m的取值范围.
分析 (1)由“非r”为假命题,得出命题r为真命题,即函数h(x)=(m2-m-2)x2+2mx+1的函数值恒大于0,讨论得到m的范围.
(2)求出命题p和命题q的真假,命题“p或q”为真;命题“p且q”为假,求出m的取值范围.
解答 解:(1)∵“非r”为假命题,∴命题r为真命题,
即函数h(x)=(m2-m-2)x2+2mx+1的函数值恒大于0,…(1分)
①当m2-m-2=0时,即m=-1或m=2m=-1时,h(x)=-2x+1不满足函数值恒大于0,m=2时,h(x)=4x+1也不满足函数值恒大于0,
即m=-1或m=2不合题意,…(2分)
②当m2-m-2≠0时,
则$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-m-2>0\\{({2m})^2}-4({{m^2}-m-2})<0\end{array}\right.$,…(4分)
解之得:m<-2
综上所述可知所求实数m的取值范围为(-∞,-2)…(6分)
(2)f(x)=x2+2mx+2+m2=(x+m)2+2
若命题p是真命题,则-m≤2,即m≥-2
若命题p是假命题,则-m>2,即m<-2…(8分)
又g(x)=4x-2x+1+m2-m+3=(2x-1)2+(m2-m+2),
即当x=0时,${[{g(x)}]_{min}}={m^2}-m+2$,
若命题q是真命题,则m2-m+2>4,即m>2或m<-1,
若命题q是假命题,则m2-m+2≤4,即-1≤m≤2,…(10分)
∵命题“p或q”为真;命题“p且q”为假,
∴命题p和命题q必为一真一假
即$\left\{\begin{array}{l}p是真命题\\ q是假命题\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}p是假命题\\ q是真命题\end{array}\right.$…(12分)
即$\left\{\begin{array}{l}m≥-2\\-1≤m≤2\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}m<-2\\ m>2或m<-1\end{array}\right.$,
解之得:-1≤m≤2或m<-2
则所求实数m的取值范围是[-1,2]∪(-∞,-2)…(14分)
点评 本题主要考查命题真假在大题中的应用,要注意真假命题的判断,属于中档题型.
A. | (0,e) | B. | (1,e) | C. | (e,+∞) | D. | [e,+∞) |
A. | -2 | B. | -3 | C. | -2$\sqrt{3}$ | D. | -$\sqrt{3}$ |