Question

16．在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=2，AA₁=BC=2$\sqrt{3}$，E是AA₁的中点，则BE与平面B₁CE所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由等体积求出B到平面B₁CE的距离，即可求出BE与平面B₁CE所成角的正弦值．

解答 解：由题意，△B₁CE中，B₁E=CE=$\sqrt{7}$，B₁C=2$\sqrt{6}$，∴${S}_{△{B}_{1}CE}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{6}×1$=$\sqrt{6}$，
设B到平面B₁CE的距离为h，则
由等体积可得$\frac{1}{3}×\sqrt{6}×h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×1$，
∴h=$\frac{3}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴BE与平面B₁CE所成角的正弦值为$\frac{h}{BC}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查BE与平面B₁CE所成角的正弦值，考查体积公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．